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三、预备知识
1.集合的基本概念
·集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一，不能以更简单的概念来定义(define)，只能给出它的描述(description)。一些对象的整体就称为一个集合，这个整体的每个对象称为该集合的一个元素(member或element)。
·用大写字母A, B, C等表示集合，用小写字母a, b, c等表示集合的元素
·aÎA表示：a是集合A的元素，或说a属于集合A
·aÏA表示：a不是集合A的元素，或说a不属于集合A
·集合中的元素是无序的，不重复的。通常使用两种方法来给出一个集合：
·列元素法：列出某集合的所有元素，如：
·A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}表示所有小于10的自然数所构成的集合
·B = {a, b, …, z} 表示所有小写英文字母所构成的集合
·性质概括法：使用某个性质来概括集合中的元素，如：
·A = { n | n 是小于10的自然数}
·C = { n | n 是质数} 表示所有质数所构成的集合
·集合由它的元素所决定，换句话说，两个集合A和B相等，记为A = B，如果A和B具有相同的元素，即a属于集合A当且仅当a属于集合B。
·子集(subset)：说集合A是集合B的子集，记为AÍB，如果a属于集合A则a也属于集合B。因此A=B当且仅当AÍB且BÍA。说集合A是集合B的真子集(proper subset)，如果AÍB且A不等于B(A ¹ B)。
·空集(empty set)：约定存在一个没有任何元素的集合，称为空集，记为f，有时也用{}来表示。按子集的定义，空集是任何集合的子集(为什么？)。
·幂集(power set)：集合A的幂集，记为P(A)，是A的所有子集所构成的集合，即：
·P(A) = { B | B Í A }
·例如，A = {0, 1}，则P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }
·显然，对任意集合A，有fÎ P(A)和AÎP(A)
·补集(complement set)：集合A的补集，记为A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合，即A = {x | xÏA}。通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。
·集合的并(union)：集合A和B的并AÈB定义为：AÈB = {x | xÎA或者xÎB}，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的并定义为：
A1ÈA2…ÈAn = {x | 存在某个i，使得xÎAi}
·集合的交(intersection)：集合A和B的并AÇB定义为：AÇB = {x | xÎA而且xÎB}，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交定义为：
A1ÈA2…ÈAn = {x | 对所有的i，都有xÎAi}
·集合的差(difference)：集合A和B的差A-B定义为：A-B = {x | xÎA而且xÏB}。
2.关系和函数的基本概念
·有序对(ordered pair)：设A和B是两个集合，aÎA, bÎB是两个元素，a和b的有序对，记为<a, b>，定义为集合{{a}, {a, b}}。
·设<a1, b1>和<a2, b2>是两个有序对，可以证明<a1, b1> = <a2, b2>当且仅当a1 = a2且b1 = b2。(如何证？)
·有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是集合，a1ÎA1, a2ÎA2, …, anÎAn是元素，定义有序n元组(ordered n-tuple)<a1, a2, …, an>为<<a1, a2, …, an-1>, an>，注意这是一个归纳(inductive)定义，将有序n元组的定义归结为有序n-1元组的定义。
·显然有<a1, a2, …, an> = <b1, b2, …, bn>当且仅当a1 = b1且a2 = b2且…且an = bn。
·集合的笛卡尔积(cartesian product)：两个集合A和B的笛卡尔积A´B定义为：
A´B = {<a, b> | aÎA且bÎB}
·例如，设A = {a, b, c}，B = {1, 2}，则：
A´B = {<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>, <c, 1>, <c, 2>}
·笛卡尔积可推广到多个集合的情况，集合A1, A2, …, An的笛卡尔积定义为：
A1´A2´…´An = {<a1, a2, …, an> | a1ÎA1且a2ÎA2且…且anÎAn}
·集合之间的关系(relation)：定义n个集合A1, A2, …, An之间的一个n元关系R为集合A1, A2, …, An的笛卡尔积A1´A2´…´An的一个子集。设<a1, a2, …, an>ÎA1´A2´…´An，若<a1, a2, …, an>ÎR，则称a1, a2, …, an间具有关系R，否则称它们不具有关系R。特别地：
·当A1 = A2 = … = An = A时，称R为A上的n元关系。
·当n = 2时，有RÍA1´A2，称R为A1与A2间的一个二元关系(binary relation)。这时若<a1, a2>ÎR则简记为a1Ra2，否则（即<a1, a2>ÏR）记为a1Ra2。通常研究得最多的是二元关系，n元关系的许多性质可从二元关系的性质扩充而得到。如果没有特别指明的话，说R是一个关系则是指R是一个二元关系。
·当n = 1时，这时可认为R是集合A上满足某种性质的子集。
·关系的一些性质：设R是A上的二元关系：
·说R是自反的(reflexive)，如果对任意的aÎA有aRa。
·说R是反自反的(irreflexive)，如果对任意的aÎA有aRa。
·说R是对称的(symmetric)，如果对任意的a, bÎA有若aRb则bRa。
· 说R是反对称的(antisymmetric)，如果对任意的a, bÎA有若aRb且bRa则a = b。
·说R是传递的(transitive)，如果对任意的a, b, c ÎA有若aRb且bRc则aRc。
·说R是等价关系(equivalence)，如果R是自反的、对称的和传递的。
·集合之间的函数(function，或说映射mapping)：定义集合A到B的函数f是A和B的笛卡尔积A´B的一个子集，且满足若<x, y>Îf及<x, z>Îf则y = z。因此函数是A和B之间的一个特殊的二元关系。通常记集合A到B的函数f为f : A®B。
·函数f : A®B的定义域(domain)dom(f )定义为：
dom(f ) = {x | 存在某个yÎB使得<x, y>Îf }
·函数f : A®B的值域(range)ran(f )定义为：
ran(f ) = {y | 存在某个xÎA使得<x, y>Îf }
·若<x, y>Îf，通常记y为f(x)，并称y为x在函数f下的像(image)，x为y在函数f下的原像。
·函数也可推广到n元的情形：f : A1´A2´…´An®B，意味着：
·f是A1´A2´…´An´B的一个子集，且
·<x1, x2, …, xn, y>Î f且<x1, x2, …, xn, z>Î f则y = z。
·函数的一些性质：设f : A®B是集合A到B的函数：
·说f是全函数(total function)，若dom(f )=A，否则称f是偏函数(partial function)。下面如果没有特别指明的话，都是指全函数。
·说f是满射(surjection, 或说f maps A onto B)，如果ran(f ) = B，即对任意的yÎB都有原像。
·说f是单射(injection，或说f is one-one)，如果有f (x1) = f(x2)则x1 = x2，即对任意的yÎB，如果它有原像的话，则有唯一的原像。
·说f是双射(bijection，或说f是一一对应)，如果f既是满射，又是单射，即对任意的yÎB，都有唯一的原像，同样根据全函数的定义，对于任意xÎA都有唯一的像。这时可以定义f的逆函数(inverse function)，记为f -1 : B®A，f -1(y) = x当且仅当f(x) = y。显然f -1也是双射。
·集合的基数(cardinal number)或说势：集合A的基数记为|A|，且有：
·对于有限集合A，令A的基数为A中元素的个数。
·定义无限集合，不直接定义基数，而是通过定义两个集合之间的等势关系来刻划集合的基数或势，说集合A和集合B是等势的(equipotent)，如果存在一个从A到B的双射。根据双射的性质，可以证明等势是集合上的一个等价关系。
·称与自然数集等势的集合为可列集(enumerable)，有限集和可列集统称为可数集(countable)。
·设A和B是有限集合，有|P(A)| = 2|A|，|A´B| = |A| ´ |B|。
